تحقیق روش المان محدود و المان نامحدود

قسمتی از متن:

مقدمه ­ای بر روش المان محدود

روش المان محدود یکی از روشهای عددی است که به طور گسترده­ای در زمینه­های مختلف مهندسی استفاده می­شود. کتاب­های زیادی در این رابطه موجود است به عنوان مثال می­توان Bathe, (1996) و Cook, (2007) را نام برد. یکی از کتاب­های معروف در این زمینه کتاب زینکویچ Zienkiewicz & Taylor, (1977) است که ایشان یکی از پیشگامان روش المان محدود به حساب می­آیند.روش المان محدود مبتنی بر دامنه(حوزه)است. در اکثر روشهای مبتنی بر حوزه، احتیاج به برش حوزه محاسباتی با یک مرز مشخص است. برای حالاتی که در حوزه محاسباتی انتشار شعاعی یا پراکندگی امواج داریم، شرائط مرزی باید به نحوی انتخاب شوند که استهلاک موج در بی­نهایت را نشان دهند (شرط تشعشعی سامرفلد). گاهی اوقات مرز به اندازه کافی دور در نظر گرفته می­شود تا موج قبل از رسیدن به مرزهای حوزه مستهلک شود. قبل از به وجود آمدن روشهای عددی مختلف که قادر به در نظر گرفتن شرایط بی­نهایت باشند از این تکنیک استفاده می­شد. اگر مسئله در حالت سه بعدی باشد یا مسئله کمی پیچیده باشد، هزینه و حجم محاسبات به شدت افزایش می­یابد. برای مقابله با این مشکل تکنیک­ها و روش­های عددی مختلفی بوجود آمده­اند.

محدودیت اصلی روش المان محدود برای حل مسئله موج، قرار گیری یک طول موج در یک المان است. به عبارت دیگر اندازه شبکه بندی(مش) محیط باید به صورتی باشد که یک المان بتواند یک طول موج را در خود ببیند. معمولاً در مسائل مهندسی با یک فرکانس مشخص سر و کار نداریم، بلکه بارگذاری­ها اکثر اوقات شامل طیف گسترده­ای از فرکانس هستند و این مسئله مبین این است که برای فرکانس­های مختلف احتیاج به شبکه بندی با اندازه­های مختلف است.

محدودیت دیگر روش المان محدود برای مسئله موج، مشکل در مدل کردن حوزه بی­نهایت است. اساساً روش المان محدود بر اساس معادله حاکمه بوده و فرمولاسیون آن برای حوزه محدود است.

برای بررسی مسئله موج با روش المان محدود، حوزه مسئله به تعداد محدودی المان با اندازه محدود تقسیم شده و انتگرال گیری روی حوزه مسئله، در واقع جمع سهم هر المان است. به منظور برخورد با مسئله موج در حوزه بی­نهایت با روشی مبتنی بر حوزه، برش حوزه حل مسئله با فاصله­ای محدود همراه با مرز ساختگی بیرونی ضروری است. البته این مرز ساختگی باید بصورتی باشد که المان­های محدود داخل حوزه را به مرز بیرونی از لحاظ ریاضی مرتبط کرده و شرط تشعشعی سامرفلد در بی­نهایت را ارضا کند.